Vjerovatnoća pri bacanju kockica: tablice i mitovi

Jedna kockica

Poštena kockica ima šest strana i svaki broj pada s vjerovatnoćom 1/6, odnosno 16,67 %. Prosječna vrijednost jednog bacanja je 3,5, ali takav broj na kockici ne postoji. Prosjek je samo ono prema čemu teži dugi niz bacanja.

Dvije kockice

Kod dvije kockice postoji 6 × 6 = 36 jednako vjerovatnih ishoda. Zbir 7 se dobija na šest načina (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), pa mu je vjerovatnoća 6/36 = 16,67 %. Zbir 2 se dobija samo jednim načinom (1+1), pa mu je vjerovatnoća 2,78 %. Prosječni zbir je 7.

Još nekoliko korisnih brojki za dvije kockice: dubl (isti broj na obje) pada s vjerovatnoćom 6/36 (16,67 %), a bar jedna šestica s vjerovatnoćom 11/36 (30,56 %).

Tri kockice

Tri kockice daju 6 × 6 × 6 = 216 ishoda. Zbirovi se kreću od 3 do 18, a najčešći su 10 i 11, svaki s vjerovatnoćom 27/216 (12,5 %). Ova tablica je osnova za oklade u sic bou.

Bacanja su neovisna

Kockica nema pamćenja. Ako je šestica pala tri puta zaredom, šansa da padne i četvrti put i dalje je 1/6. Vjerovanje da je nešto „dospjelo“ jer se dugo nije pojavilo zove se zabluda kockara. Serija bez sedmice u crapsu ne povećava šansu za sedmicu u sljedećem bacanju.

Zakon velikih brojeva kaže nešto drugo: u dugom nizu bacanja relativne učestalosti se približavaju teoretskim. To se ne događa tako što se „nadoknadi“ prošlost, nego tako što stari ishodi bivaju potopljeni novima.

Mit o „sretnom“ bacanju

Neki igrači vjeruju da se kockice mogu baciti tako da pad određenog broja bude vjerovatniji. Kazina to otežavaju pravilima: kockice moraju udariti u zid stola, a izrađuju se uz vrlo malu toleranciju. Pouzdanih dokaza da običan igrač može ciljano utjecati na ishod nema, pa takvu tvrdnju treba tretirati kao marketing ili praznovjerje.

Problem viteza de Mérea

U 17. vijeku vitez de Méré se pitao šta je isplativije kladiti se: da će u 4 bacanja jedne kockice pasti bar jedna šestica ili da će u 24 bacanja dvije kockice pasti bar jedan dupli šest. Računica je jednostavna kad se gleda suprotni događaj. Prva šansa je 1 − (5/6)⁴ = 51,77 %, a druga 1 − (35/36)²⁴ = 49,14 %. Razlika od oko dva postotna boda bila je primjetna tek nakon dugog igranja. Pitanje je došlo do Pascala i Fermata, čija prepiska se smatra jednim od početaka teorije vjerovatnoće.

Šta to znači za igrača

Vjerovatnoće opisuju šta očekivati u velikom broju bacanja, ali ne govore ništa o idućem bacanju. Kad se uz kockice igra novcem, ove brojke pokazuju zašto kuća ima prednost: isplate su uvijek nešto manje od fer isplata. Primjere vidite u vodičima Craps i Sic bo. Pregled svih igara nalazi se u tekstu Igre s kockicama.

Kako izračunati šansu bez tablice

Osnovno pravilo glasi: izbroji ishode koji ti odgovaraju i podijeli ih s ukupnim brojem ishoda. Kod dvije kockice treba razlikovati poredak, pa su 1+6 i 6+1 dva različita ishoda, dok je 3+3 samo jedan. Zato je zbir 7 vjerovatniji od zbira 6: prvi ima šest kombinacija, a drugi samo pet. Kad tražite „bar jedan“ događaj, lakše je izračunati suprotni slučaj i oduzeti ga od 1.

Primjer: bar jedna sedmica u 10 bacanja

Šansa da u jednom bacanju dvije kockice padne zbir 7 je 1/6, pa je šansa da ne padne 5/6. U 10 bacanja bez sedmice šansa je (5/6)¹⁰, odnosno oko 16,15 %. Bar jedna sedmica pojavit će se s vjerovatnoćom 1 − 0,1615 = 83,85 %. To znači da se u oko jednom od šest takvih nizova sedmica uopće ne pojavi, što je normalno, a ne „znak“ da kockice nisu poštene.

Očekivana vrijednost

Očekivana vrijednost je prosjek ishoda ponderisan njihovim vjerovatnoćama. Kod igre na novac to je prosječni dobitak ili gubitak po ulogu. Za sic bo oklade na small, očekivana vrijednost je −2,78 % uloga, što znači da se na svakih 100 KM uloženih tokom dugog niza igara u prosjeku gubi 2,78 KM. Takvi proračuni su jedini pouzdani način poređenja oklada.

Slični vodiči

• Igre s kockicama: pregled najpoznatijih igara
• Craps: pravila, osnovne oklade i prednost kuće
• Sic bo: pravila, oklade i isplate

Svi vodiči iz rubrike: Igre s kockicama. Nepoznat izraz? Pogledajte Rječnik pojmova.